高阶有限元疑惑

[Jingzheng]

我希望能够把线性有限元扩展为二阶或三阶FEM，我参考了2020 siggraph course Dynamic Deformables通过FEM直接构造deformation gradient方法。但是高阶basis function关于u，v求一阶导数得到的deformation gradient不是常数矩阵，请问这个时候该如何处理呢？比如下面的二阶FEM，论文中提到要选取quadrature point，我不太明白是什么意思？（我的理解是：比如可以选取三个高斯求积点，然后按照高斯权重加起来，不知道这种理解方式对不对？）

此外，我之前学过工程上FEM一般是写Galerkin方程，作用上test function后求积分再离散化，类似于GAMES201第六讲中线弹性方程的求解方法。课上学习的线性有限元和这种方式是等价的吗？如果想要把线性有限元写成Galerkin有限元方程应该是什么样的呢？

非常感谢！！

[YuPeng]

Hi @Jingzheng, 欢迎来到太极论坛。

在变形梯度不是常数矩阵时，就表明一个单元内的变形不是线性的，不能通过单元顶点线性插值来计算单元内某一点变形之后的位置。变形梯度是描述单元的形变的，依然可以用它来计算应变和应力，然后构建平衡方程。

quadrature point就是在一个单元内算积分时，只在这几个点上算函数值然后求和就可以算出整个单元上的积分。你的理解就是可以的。

工程上FEM的Galerkin法和课程的线弹性方程的求解其实都是从微分方程的弱形式推导得来的，所以本质上还是等价的。