Taichi Implicit MPM Solver

最近看的几篇 mpm 相关的 paper 里面都是使用的隐式积分器,就趁着学习的机会看完了 Optimization integrator for large time steps,用 Taichi 实现了implicit MPM solver.

Demo

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实现

实现主要参考的还是16年蒋老师的 mpm-course 以及胡老师第二节课讲的隐式求解标准步骤,做完 particles to grid 以后构造:
h(\mathbf{v}^{n+1})=\mathbf{M} \mathbf{v}^{n+1} - \Delta t \mathbf{f}(\mathbf{x}^n+\Delta t \mathbf{v}^{n+1}) - \mathbf{M} \mathbf{v}^n=0
然后用 Newton-Raphson solver 迭代求解:
\mathbf{v}^{(i + 1)} = \mathbf{v}^{(i)}-(\frac{\partial h}{\partial v}(\mathbf{v}^{(i)} ))^{-1}h(\mathbf{v}^{(i)} )
隐式构造出 \frac{\partial h}{\partial v}(\mathbf{v}^{(i)} ) 矩阵后,用 conjugate gradient linear-solver 迭代求解每一步的线性方程组。最后做 grid to particles.

并实现了 Optimization integrator for large time steps 里的优化,
把求零点问题看成是求以下能量函数的最低点:
E(v_i)=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}\vert\vert v_i - v_i^n\vert \vert^2+ \Phi(x_i^n+\Delta t v_i)
并用 line search 优化和修正最后的方向。
为耦合牛顿迭代和线性方程组求解,引入 relative tolerance 为 min(\frac{1}{2}, \sigma \sqrt{max(\vert\vert\nabla E\vert \vert), \tau})

用了维度无关编程和 ti.static() 以及稀疏数据结构,同时支持2维和3维的情形。
为了能在实时下运行,demo 中把 newton_tolerance 和 linear_solve_tolerance 分别设为 10^{-2}10^{-6} .

感想

\frac{\partial f}{\partial v} 非常painful,自己尝试推了一天,最后参考了蒋老师的 ziran2020 库里面的求解式子。以及在解方程的时候,collision 情况的考虑需要自己仔细想一想。

Code

代码托管在 Github:

Future work

  • 修复一些已知的 Bugs,改进数据布局和一些 quick-and-dirty 的实现。
  • 由于要考虑 \Psi ,\frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{F}} ,\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \mathbf{F} \partial \mathbf{F}} 等众多量的求解,目前只实现了一个 fixed corotated 模型,以后会抽象成一个专门的 stress 类。
  • 用 possion disk sampling 实现 mesh to particles.
  • 把 implicit solver 用于 IQMPM,anisoMPM 等。

References

[1] Gonzalez, O. and Stuart, A. (2008). A first course in continuum mechanics. Cambridge University Press.
[2] Gast, T., Schroeder, C., Stomakhin, A., Jiang, C., and Teran, J. (2015). Optimization integrator for large time steps. IEEE Trans Vis Comp Graph, 21(10):1103–1115.
[3] C. Jiang, C. Schroeder, J. Teran, A. Stomakhin, and A. Selle. 2016. The material point method for simulating continuum materials. In SIGGRAPH Course. 24:1–24:52.
[4] C. Jiang, C. Schroeder, A. Selle, J. Teran, and A. Stomakhin. 2015. The affine particle-in-cell method. ACM Trans Graph 34, 4 (2015), 51:1–51:10.

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目前line search的部分还存在bug,虽然residual减少了但是total energy反而增加了……还在debug中